Blog do professor sergio krakowiak


Estimação de parâmetros por Minimos Quadrados Ordinários

Estimação dos parâmetros de funções via MQO:

O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) é um processo de busca dos coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. Para tanto, uma das condições é que a forma escolhida para a equação seja adequada. O MMQ minimiza a soma dos quadrados dos resíduos (min S(ei2)).

Quando a distribuição dos resíduos é Normal, as estimativas de máxima probabilidade podem ser encontradas pelo Método dos Mínimos Quadrados. Neste caso, sob as condições básicas, as estimativas do MMQ para os coeficientes da equação são as estimativas lineares não-tendenciosas de mínima variância.

O modelo mais simples a ser estimado é uma reta (equação 1), sendo b0 o intercepto e b1 a inclinação. A variável independente é Xi e a dependente, Yi. O termo de erro aleatório é ei. Em função da consideração do termo de erro, podem ser aceitas várias combinações destes termos (retas semelhantes), e o quadrado dos resíduos também varia. No modelo linear de regressão simples indicado em (1), a mudança dos coeficientes (b0,b1) provoca novos valores para os erros (2). Os quadrados dos erros são, evidentemente, determinados em função destes coeficientes (3).

  •  

      Yi= b0 + b1Xi + ei                                                  (1)
      ei = Yi – b0 – b1Xi                                                  (2)
      Q = f(b0,b1) = S(ei)2 = S(Yi – b0 – b1Xi)2              (3)
                    (i=1,2,...,n)

Assim, para um determinado conjunto de dados, são inúmeros os conjuntos (b0,b1) que permitem ajustar equações razoáveis, mas existe um par especial. Busca-se os coeficientes que permitem obter o menor valor para a soma do quadrado dos resíduos. Para diferenciar dos outros, vamos chamar este par de coeficientes de (b0,b1). É interessante determinar genericamente através do Cálculo Diferencial. Sabe-se que uma função atinge seus extremos (máximos ou mínimos) quando a derivada é nula. No caso, só há mínimo, pois a função Q é de valores positivos (quadrados dos erros).
Os valores amostrais (Xi,Yi) são constantes. Assim, derivando Q em relação a b0 e b1  (equações 4, 5) e fazendo estas derivadas parciais iguais a zero, podemos obter (b0,b1). Os coeficientes (b0,b1) são os “Estimadores de Mínimos Quadrados” para os valores reais e desconhecidos (b0,b1).

  •  

      dQ/db0 = –2 S[ Yi – b0 – b1 Xi ]                                     (4)
      dQ/db1 = –2 S[(Yi – b0 – b1 Xi ) Xi ]                              (5)

Igualando a zero as derivadas parciais, no caso particular do mínimo da função Q, são obtidos (b0,b1). Transformando os termos, como Sb0 = nb0 e Sb1Xi=b1SXi, são obtidas as chamadas “Equações Normais” (6,7):

  •  

      SYi  = nb0 + b1SXi                                                         (6)
      SXiYi  = b0SXi + b1SXi2                                                (7)

E, por fim, obtém-se a inclinação e o intercepto em (8, 9). O intercepto é calculado com os valores médios de X e Y.

  •  

      b1 = [nSXiYiSXiSYi] / [nSXi2 – (SXi)2]                       (8)
      b0 = (SYi – b1SXi)/n                                                       (9)

 

 

 

 

 

  •  

      b1 = [nSXiYiSXiSYi] / [nSXi2 – (SXi)2]                       (8)
      b0 = (SYi – b1SXi)/n                                                       (9)



Escrito por sergio.krakowiak às 05h30
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Probability course- Part 07

http://www.youtube.com/watch?v=BLcgeLALLnc 

 

 

 



Escrito por sergio.krakowiak às 06h25
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Matemática Financeira: Juros simples, compostos e séries de pagamentos.

O Impa (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) é um dos principais centros de estudo da Matemática do planeta. Situado no RJ é motivo de orgulho para todos os brasileiros. Anualmente são realizados nesta instituição, cursos de férias para aperfeiçoamento dos professores de Matemática do 2º grau. O link abaixo leva à pagina onde estão postadas estas aulas, que são filmadas e disponibilizadas com o intuito de popularizar e democratizar os conhecimentos matemáticos.

Dentre os vários links que encontrarão nesta página, um deles trata da Matemática Financeira. A cadeira da Matemática Financeira no IMPA pertencia ao prof. Morgado, um dos mais eminentes doutores desta instituição, extremamente respeitado por seus conhecimentos e adorado por seu senso de humor, e que partiu em  2008 deixando um incrível legado. Usufrua da herança deste professor assistindo à sua aula de 58 minutos  sobre juros simples, juros compostos e séries de pagamento.

Um abraço,

Prof. Sérgio Krakowiak

http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2008



Escrito por sergio.krakowiak às 17h40
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Introdução à estimação econométrica de funções via Método dos Mínimos Quadrados Ordinários.

Este filme é em Inglês, mas só como desafio  tente entender mesmo assim!

Filme 1) http://www.youtube.com/watch?v=ocGEhiLwDVc

 



Escrito por sergio.krakowiak às 02h05
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Matemática Financeira: Avaliação de viabilidade de projetos - Método do Payback: http://www.youtube.com/watch?v=I-J6WYK7cR8



Escrito por sergio.krakowiak às 20h22
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Matemática Financeira: VPL e TIR

Valor Presente Líquido (VPL)   http://www.youtube.com/watch?v=B81e4nCgLmM

Taxa interna de retorno (TIR)  http://www.youtube.com/watch?v=miFJE0VqvzA



Escrito por sergio.krakowiak às 03h50
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Apresentação sobre as idéias e a vida de Adam Smith: O pai da Economia moderna.

Bons estudos!

http://www.youtube.com/watch?v=Qel8TQv5WyI



Categoria: Economia Política
Escrito por sergio.krakowiak às 12h11
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Regimes cambiais

Audio de aula sobre regimes cambiais:

Clique aqui e ouça o Podcast.



Categoria: Micro e Macroeconomia
Escrito por sergio.krakowiak às 12h07
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Circular Flow: How the economy works.

Se você entende bem Inglês, este video traz uma introdução à Macroeconomia, explicando o fluxo circular da renda.

http://www.youtube.com/watch?v=gaEY-p-21F8




Categoria: Micro e Macroeconomia
Escrito por sergio.krakowiak às 12h05
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A crise global de alimentos.

Entenda os fatores determinantes da pobreza em meio à abundância.

http://www.youtube.com/watch?v=3oQoEEoT490&feature=player_embedded

 



Categoria: Desenvolvimento econômico
Escrito por sergio.krakowiak às 11h48
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Resumo da crise: Programa Roda Viva, TV Cultura


A visão aqui exposta contrasta com a visão liberal e faz o contraponto ao documentário postado abaixo.

http://www.youtube.com/watch?v=TRgrXibeio8

 

 



Categoria: Micro e Macroeconomia
Escrito por sergio.krakowiak às 11h43
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A visão neoliberal sobre os determinantes da crise econômica mundial


Todo fenômeno econômico possui duas ou mais explicações plausíveis sobre os fatores que o condicionaram, e é através do contraditório, do debate acadêmico, que nos aproximamos de verdades mais gerais.
A visão neoliberal trazida por este documentário deve ser ouvida com grande atenção, para que possamos endossá-la ou questioná-la com o embasamento necessário.

http://www.youtube.com/watch?v=SmhTpIGezKk



Categoria: Micro e Macroeconomia
Escrito por sergio.krakowiak às 11h33
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FHC fala sobre a crise econômica mundial no programa do Jô

Como sempre, o professor Fernando Henrique Cardoso é extremamente didático e divertido. Nessa entrevista FHC explica com bastante facilidade o episódio do sub prime e os mecanismos básicos de geração e propagação de crises economicas.

http://www.youtube.com/watch?v=JofIC2gccW4   (parte 2 da entrevista)

http://www.youtube.com/watch?v=bGHGByVeeBs (parte 3 da entrevista)

 



Categoria: Micro e Macroeconomia
Escrito por sergio.krakowiak às 11h08
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Relatório da ABK sobre a crise econômico-Financeira Mundial



A Associação Brasileira Keynesiana (ABK) é composta por notórios economistas Pós-Keynesianos, que lecionam nas mais renomadas universidades do Brasil. O link abaixo os levará a um relatório precioso, que explica pormenorizadamente a origem da crise, os motivos pelos quais ela adquiriu tamanhas proporções e como esta vem sendo combatida.

Prestem especial atenção ao texto do professor Fernando Cardim de Carvalho "Entendendo a recente crise financeira global"  (da página 16 à 22) 

http://www.ppge.ufrgs.br/akb/dossie-crise.pdf



Categoria: Micro e Macroeconomia
Escrito por sergio.krakowiak às 11h01
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Curso Livre de Teoria dos Jogos da Universidade de Yale.


A Universidade de Yale disponibilizou em seu site as aulas do Curso Livre de Teoria dos Jogos, ministrado pelo Professor Ben Polak no fim do ano passado. Segundo a descrição do próprio site, o curso é uma introdução à TJ e ao pensamento estratégico. Todas as aulas foram gravadas e estão disponíveis em arquivos de texto, áudio e vídeo. Melhor, impossível!

Mas, se o seu negócio for mesmo finanças, o site também traz o Curso Livre de Mercado Financeiro deste ano, do Professor Robert Shiller.

 



Categoria: Micro e Macroeconomia
Escrito por sergio.krakowiak às 04h28
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